Question

【题目】已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；

（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；

（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.

【解析】

（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；

（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；

（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．

（1）由题意，，

所以离心率，左焦点．

（2）由题知，，即.

当时直线方程为或，直线与椭圆相切．

当时，由得，

即

所以

故直线与椭圆相切．

（3）设，，

当时，，，，

，

所以，即．

当时，由得，

则，，

．

因为

．

所以，即．

故为定值．