Question

11．已知集合$A=\left\{{\left.x\right|y=\sqrt{{2^x}-4}+\frac{1}{x-4}}\right\}$
1）求集合A；
2）若函数$f（x）=（{log_2}\frac{x}{8}）•（{log_2}\frac{x}{4}）（x∈A）$，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-4≥0}\\{x-4≠0}\end{array}\right.$，解得x范围即可得出；
（2）f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）=$（lo{g}_{2}x-\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，由x∈A，可得log₂x≥1，且log₂x≠2，即可得出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-4≥0}\\{x-4≠0}\end{array}\right.$，解得x≥2，且x≠4．
∴A={x|x≥2且x≠4}．
（2）f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）
=$（lo{g}_{2}x）^{2}$-5log₂x+6
=$（lo{g}_{2}x-\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，
∵x∈A，
∴log₂x≥1，且log₂x≠2，
∴当log₂x∈[1，2）时，f（x）∈（0，2]；
当log₂x∈$（2，\frac{5}{2}]$时，f（x）∈$[-\frac{1}{4}，0）$；
当log₂x∈$（\frac{5}{2}，+∞）$时，f（x）∈$[-\frac{1}{4}，+∞）$．
∴函数f（x）的值域是$[-\frac{1}{4}，+∞）$

点评 本题考查了函数的定义域与值域、对数的运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．