Question

已知扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S_△OAP+S_△OBP的值最大．现有半径为R的半圆O，在圆弧MN上依次取点P1，P2，…，P2n-1（异于M，N），则S△OMP1+S△OP1P2+…+S△OP2n-1N的最大值为

2^n-1R²sin

π

2n

．

Answer 1

分析：利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出．

解答：解：S△OMP1+S△OP1P2+…+S△OP2n-1N=

1

2

R2(sin∠MOP1+sin∠P1OP2+…+sin∠P2n-1ON)，
设∠MOP₁=θ₁，∠P₁OP₂=θ₂，…，∠P2n-1ON=θ2n．则θ1+θ2+…+θ2n=π．
∵0＜θ_i＜π，∴sinθ_i＞0，
猜想S△OMP1+S△OP1P2+…+S△OP2n-1N的最大值为2n-1R2sin

π

2n

．
即

1

2

R2(sinθ1+sinθ2+…+sinθn)≤2nR2sin

π

2n

?sinθ₁+sinθ₂+…+sinθ2n≤2nsin

π

2n

（θ1+θ2+…+θ2n=π）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，由扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S_△OAP+S_△OBP的值最大，可知成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即sinθ₁+sinθ₂+…+sinθ2k≤2ksin

π

2k

．成立．（θ₁+θ₂+…+θ2k=π，θ_i＞0）
则当n=k+1时，左边=即sinθ₁+sinθ₂+…+sinθ2k+sinθ2k+1+…+sinθ2k+1
∵sinθi+sinθi+1=2sin

θi+θi+1

2

cos

θi-θi+1

2

≤2sin

θi+θi+1

2

，当且仅当θ_i=θ_i+1时取等号．
∴左边≤2sin

θ1+θ2

2

+2sin

θ3+θ4

2

+…+2sin

θ2k+1-1+θ2k+1

2

≤2•2ksin

π

2k+1

=2k+1sin

π

2k+1

=右边，当且仅当θ_i=θ_i+1（i∈N^*，且1≤i≤2^k+1-1）时取等号．
即不等式对于?n∈N^*都成立．
故答案为2n-1R2sin

π

2n

．

点评：熟练掌握三角形的面积计算公式和数学归纳法是解题的关键．