Question

如图：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，AA₁=3，侧棱AA₁⊥底面ABC，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（1）若P为AB中点，求证：PD∥平面ACC₁A₁
（2）若DP⊥AB，求四棱锥P-ACC₁A₁的体积．

Answer 1

分析：（1）P为AB中点，连结AC₁，证明PD∥AC₁，利用直线与平面平行的判定定理证明PD∥平面ACC₁A₁
（2）若DP⊥AB，求四棱锥P-ACC₁A₁的体积．

解答：解：（1）证明：P为AB中点，连结AC₁，因为D为C₁B的中点，所以PD是三角形ABC₁的中位线，所以PD∥AC₁，AC1?平面ACC₁A₁，由直线与平面平行的判定定理，可知PD∥平面ACC₁A₁
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，DP⊥AB，
∴AP=3PB，解得BP=

1

2

，
又AA₁=3，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC₁=

13

，
所以四棱锥P-ACC₁A₁的体积，VP-ACC1A1=

3

4

VB-ACC1A1=

3

4

×

1

3

×2×3×

3

=

3 3

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，几何体的体积的求法，考查计算能力、空间想象能力．