Question

已知二次函数f（x）=x²+tx（t＞0）在区间[-1，0]上的最小值为-1．
（1）求t的值；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a_n＞0（n∈N^*），点在函数f（x）的图象上，求S_n的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）=x²+tx=．由于x∈[-1，0]，故需要进行分类讨论：①，即0＜t≤2；②即t＞2，根据最小值为-1，可求t的值；
（2）由（1）得f（x）=x²+2x，根据点在函数f（x）的图象上，可得，化简可得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，故可求S_n的表达式．
解答：解：（1）f（x）=x²+tx=．…（1分）
①若，即0＜t≤2，则当时，f（x）取得最小值，
依题意得=-1，解得t=2或t=-2（舍去）．…（3分）
②若即t＞2，则当x=-1时，f（x）取得最小值1-t，
依题意得1-t=-1，解得t=2（不合舍去）．…（5分）
综合①、②得t=2．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=x²+2x，
∵点在函数f（x）的图象上，
∴．
∴，…（8分）
即．
∵a_n＞0，
∴S_n＞0，则＞0．
∴=，即．…（10分）
∴．
∴数列是首项为，公比为3的等比数列．…（12分）
∴．
∴．…（14分）
点评：本题以二次函数为载体，主要考查函数、数列等基本知识，考查运算求解能力和推理论证能力，解题的关键是构造新数列，利用等比数列的定义进行证明．