Question

【题目】如图，在空间四面体中， ⊥平面,,且．

（1）证明:平面⊥平面；

（2）求四面体体积的最大值，并求此时二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）,

【解析】

（1）由勾股定理可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面 ，从而可得结果；（2）设，则，

由棱锥的体积公式求得棱锥的体积，利用导数可得体积的最大值；以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

（1），

故 即

又

由、得

故有平面⊥平面

（2）设，则

四面体的体积

，故在单增，在单减

易知时四面体的体积最大，且最大值是

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系

则

设平面的法向量为 则由

取，得平面的一个法向量为

同理可得平面的一个法向量

由于是锐二面角，故所求二面角的余弦值为