题目内容
设关于x的方程是x2－(tan
＋i)x－(2＋i)＝0．
(1)若方程有实根，求锐角的实数根；
(2)证明对任意≠kπ＋
(k∈Z)方程无纯虚数根．
答案：
解析：
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解：(1)设方程的实根为α，则α2－(tan
＋i)α－(2＋i)＝0，即α2－tan·α－2－(α＋1)i＝0
∵α·tan∈R ∴
∴α＝－1且tan＝1
又＜＜
，∴＝
，α＝－1
(2)若方程有纯虚数根βi(β∈R，β≠0)则
(βi)2－(tan＋i)·βi－(2＋i)＝0．
∴－β2＋β－2＝0 ①
且－tan·β－1＝0 ②
由②得β＝－cot，代入①得cot2＋cot＋2＝0此方程Δ＝1－8＜0，∴cot为虚数，与cot∈R矛盾，假设不成立，∴原方程对于任意实数不可能有纯虚数根．
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