Question

（2010•武汉模拟）已知函数f（x）=2x³+3（1-2a）x²+6a（a-1）x（a∈R）
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围；
（3）是否存在这样的常数a∈(-∞，

3

2

]，使得直线y=1与y=f（x）相切，如果存在，求出a，否则请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后对函数求导可得f'（x）=6x²+6（1-2a）x+6a（a-1），分别令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函数的单调增区间，单调减区间；
（2）由于f（x）=x[2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）]，所以关于x的方程f（x）=0有且仅有一个实数根等价于，对于关于x的二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0无实根或仅有零根，因为方程没有零根，所以二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0无实根，所以判别式＜0，故可求a的范围；
（3）假设y=1与y=f（x）相切于点（x₀，y₀），则函数在极值点处与y=1相切，从而分类讨论：x₀=a及x₀=a-1，由此可得方程，故可求符合条件的a值．

解答：解：（1）由f（x）=2x³+3（1-2a）x+6a（a-1）x求导数得到f'（x）=6x²+6（1-2a）x+6a（a-1）
=6（x-a）（x-a+1）
∴y=f（x）在（-∞，a-1]上为增函数；
在[a-1，a]上为减函数；在[a，+∞）上为增函数．…（4分）
（2）由f（x）=x[2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）]
对于关于x的二次方程2x²+3（1-2a）x+6a（a-1）=0无实根或仅有零根，仅有零根不可能则判别式△=[3（1-2a）]²-4•2•6a（a-1）
=3（-2a+3）（2a+1）＜0
∴a＞

3

2

或a＜-

1

2

故所求a的范围为(-∞，-

1

2

)∪(

3

2

，+∞)…（8分）
（3）设y=1与y=f（x）相切于点（x₀，y₀）则

y0=2 x 3 0 +3(1-2a) x 2 0 +6a(a-1)x0=1 6(x0-a)(x0-a+1)=0

在x₀=a时，则2a³+3（1-2a）a²+6a²（a-1）=1
∴2a3-3a2=1，而2a3-3a2=2a2(a-

3

2

)≤0或a≤

3

2

时恒成立．
∴2a³-3a²=1不可能成立．
在x₀=a-1时，则2（a-1）³+3（1-2a）（a-1）²+6a（a-1）²=1
化简为2a3-3a2=0，则a=0或a=

3

2

符合a≤

3

2

．
因此所求符合条件的a值分别为0或

3

2

．…（13分）

点评：本题的考点是导数的应用，主要考查函数的单调性，导数的几何意义，考查方程根的判断，求函数的单调区间关键是先求函数的定义域，然后结合导数的符号进行求解，此类问题容易忽略对定义域的判断．利用导数的几何意义设出切点坐标是解决该问题的关键