Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=

2n+1an

(n+ 1 2 )an+2n

（n∈N₊）．
（1）设b_n=

2n

an

，求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）设c_n=

1

n(n+1)an+1

，数列{c_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）根据条件先求出a_n的表达式，然后求出b_n=

2n

an

，即可求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）求出c_n的表达式，然后利用等比数列的求和公式进行求和．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=

2n+1an

(n+ 1 2 )an+2n

，
∴

an+1

2n+1

=

an

(n+ 1 2 )an+2n

，
即

2n+1

an+1

=

2n

an

+n+

1

2

，
∴

2n+1

an+1

-

2n

an

=n+

1

2

，
即bn+1-bn=n+

1

2

，
∴b2-b1=1+

1

2

，
b3-b2=2+

1

2

，
…
bn-bn-1=n-1+

1

2

，
累加得bn-b1=1+2+…+(n-1)+

n-1

2

=

n(n-1)

2

+

n-1

2

=

n2-1

2

，
∵b1=

2

a1

=

2

2

=1，
∴bn=

n2-1

2

+1=

n2+1

2

．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知an=

2n

bn

=

2n+1

n2+1

，
∴an+1=

2n+2

(n+1)2+1

，
∴c_n=

1

n(n+1)an+1

=

1

2

?

n2+2n+2

n(n+1)?2n+1

=

1

2

[

n2+n

n(n+1)?2n+1

+

n+2

n(n+1)?2n+1

]=

1

2

[

1

2n+1

+

1

n?2n

-

1

(n+1)?2n+1

]，
∴Sn=

1

2

(

1

22

+???+

1

2n+1

)+

1

2

[(

1

1?2

-

1

2?22

)+(

1

2?22

-

1

3?23

)+???+(

1

n?2n

-

1

(n+1)?2n+1

)]
=

1

2

•

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

1

2

[

1

2

-

1

(n+1)?2n+1

)]=

1

2

[1-(

1

2

)n+1?

n+2

n+1

]．

点评：本题主要考查了数列的通项公式和数列和的计算，运算量较大，综合性较强，考查学生的计算能力．