Question

已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R,对命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.

(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论?；?

(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.?

Answer 1

思路分析:在证题中常采用“正难则反”即反证法证明.在证明逆否命题为真命题时可证原命题为真命题.?

解:(1)逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.真命题.?

用反证法证明:假设a+b＜0,则a＜-b, b＜-a.

∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,则f(a)＜F(-B),F(B)＜F(-A),?

∴f(a)+f(b)＜F(-A)+F(-B),这与题设相矛盾.?

∴逆命题为真.?

(2)逆否命题:若f(a)+f(b)＜F(-A)+F(-B),则A+B＜0为真命题.?

∵一个命题?它的逆否命题,∴可证明原命题为真命题.?

∵a+b≥0,∴a≥-b, b≥-a.?

又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,?

∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).?

∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).?

∴逆否命题为真.?

温馨提示:在用反证法证题时,应掌握反证法证题的一般步骤.第(2)问不是用反证法证明,是证明它的等价命题为真命题.