题目内容

在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+3n．
（Ⅰ）设bn=
an
3n-1
，证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{
an
n
}的前n项和Sn．
分析：（Ⅰ）依题意可求得bn+1=bn+1，由等差数列的定义即可得证数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）可求得
an
n
=3n-1，利用等比数列的求和公式即可求得数列{
an
n
}的前n项和Sn．
解答：解：（Ⅰ）由已知an+1=3an+3n得：
bn+1=
an+1
3n

=
3an+3n
3n

=
an
3n-1
+1
=bn+1，
又b1=a1=1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列…（6分）
（Ⅱ）由（1）得
an
3n-1
=n，
∴
an
n
=3n-1，…（8分）
∴Sn=1+31+32+…+3n-1=
1×(1-3n)
1-3
=
3n-1
2
…（12分）
点评：本题考查等差数列的证明，考查等比数列的求和，考查推理与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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