Question

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀）则实数a的取值范围是

（0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：确定函数f（x）、g（x）在[-1，2]上的值域，根据对任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀），可g（x）值域是f（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=x²-2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称
∴x₁∈[-1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=-1，最大值为f（-1）=3，
可得f（x₁）值域为[-1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x₂∈[-1，2]，
∴g（x）为单调增函数，g（x₂）值域为[g（-1），g（2）]
即g（x₂）∈[2-a，2a+2]
∵对任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀）
∴

2-a≥-1 2a+2≤3 a＞0

，∴0＜a≤

1

2

故答案为：（0，

1

2

]．

点评：本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解．