Question

设有抛物线C：y=-x²+x-4，过原点O作C的切线y=kx，使切点P在第一象限，
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

Answer 1

解：(1)设点P的坐标为(x₁，y₁)，则y₁=kx₁，①
y₁=-x₁²+x₁-4，②
①代入②得x₁²+(k-)x₁+4=0，
∵P为切点，
∴Δ=(k-)²-16=0得k=或k=，
当k=时，x₁=-2，y₁=-17；
当k=时，x₁=2，y₁=1；
∵P在第一象限，
∴所求的斜率k=；
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5，③
将③代入抛物线方程得x²-x+9=0，
设Q点的坐标为(x₂，y₂)，即2x₂=9，
∴x₂=，y₂=-4，
∴Q点的坐标为(，-4)。