Question

设有抛物线C：y=-x²+

9

2

x-4，通过原点O作C的切线y=kx，使切点P在第一象限．
（1）求k的值；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）切线与抛物线仅一个交点，方程组有唯一解，判别式等于0．
（2）点斜式写出垂线方程，代入抛物线方程，求交点Q的坐标．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x₁，y₁），则y₁=kx₁①
y₁=-x₁²+

9

2

x₁-4②
①代入②得x₁²+（k-

9

2

）x₁+4=0．
∵P为切点，
∴△=（k-

9

2

）²-16=0得k=

17

2

或k=

1

2

．
当k=

17

2

时，x₁=-2，y₁=-17．
当k=

1

2

时，x₁=2，y₁=1．
∵P在第一象限，∴所求的斜率k=

1

2

．
（2）过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5③
将③代入抛物线方程得x²-

13

2

x+9=0．
设Q点的坐标为（x₂，y₂）．则x₂+2=

13

2

∴x₂=

9

2

，y₂=-4，∴Q（

9

2

，-4）

点评：本题属于运用直线与圆锥曲线的位置关系求直线方程和交点坐标问题．