Question

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1，数列{b_n}满足b_n=log_aa_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若cn=(bn+1)•(

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)n，数列c_n有没有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意由于已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，所以可以先代入求出a的值，再有数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1，先求出函数S_n的解析式，再有数列的前n项和利用公式求出数列{a_n}的通项公式；
（II）由于数列{b_n}满足b_n=log_aa_n+1（n∈N^*），由（1）可以知道b_n=n，所以a_nb_n=n•2^n-1，由该通项公式的特点可以选择错位相减法求出其前n项的和；
（III）由（II）及cn=(bn+1)•(

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)n，可以利用假设数列c_n有最大值，利用最大值的定义即可以得到．

解答：解：（Ⅰ）把（1，2）代入函数f（x）=a^x，得a=2，
所以数列{a_n}的n项和为S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
当n=1时，a₁=1也适合，∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由a=2，  bn=

log

an+1 a

得b_n=n，所以a_nb_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①
  2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ ②
由①-②得-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2n=2n-1-n•2n
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1；
（Ⅲ）cn=(n+1)•(

10

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)n∵cn+1-cn=（n+2）(

10

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)n+1-(n+1)•(

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)n=(

10

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)n•

9-n

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．
当n＜9时，c_n+1-c_n＞0，即c_n+1＞c_n；当n=9时，c_n+1-c_n=0，即c_n+1=c_n；
当n＞9时，c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n．故，
故数列中有最大值为第9、10项c9=c10=

1010

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．

点评：此题考查了利用条件解出方程，还考查了已知数列的前n项和求其通项，及利用数列的通项公式的特点选择错位相减法求出数列的前n项和，并且还考查了利用数列的最大项的定义求出数列的最大项，同时还考查了数列的计算能力．