Question

（2013•镇江一模）已知a＞0，函数f（x）=ax³-bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l₁，l₂，且l₁∥l₂．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；
（2）若直线l₁，l₂都与AB垂直，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由函数的解析式求出函数的定义域，要判断出其定义关于原点对称，进而由函数的解析式，判断出f（-x）=-f（x），最后由函数奇偶性的定义，得到结论；再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁≠x₂，利用导数的几何意义得出x₁=-x₂从而得到A，B关于原点对称．
（2）由（1）知A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），利用斜率公式及导数的几何意义结合直线l₁，l₂都与AB垂直，得到方程3t²-4bt+b²+1=0有非负实根，利用根的判别式即可求出实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵f（-x）=a（-x）³-b（-x）=-（ax³-bx）=-f（x），…（2分）
∴f（x）为奇函数．…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁≠x₂，又f'（x）=3ax²-b，…（5分）
∵f（x）在两个相异点A，B处的切线分别为l₁，l₂，且l₁∥l₂，
∴k1=f′(x1)=3ax12-b=k2=f′(x2)=3ax22-b(a＞0)，
∴x12=x22，又x₁≠x₂，∴x₁=-x₂，…（6分）　　
又∵f（x）为奇函数，
∴点A，B关于原点对称．…（7分）
（2）由（1）知A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），
∴kAB=

y1

x1

=ax12-b，…（8分）
又f（x）在A处的切线的斜率k=f′(x1)=3ax12-b，
∵直线l₁，l₂都与AB垂直，
∴kAB•k=-1，(ax12-b)•(3ax12-b)=-1，…（9分）
令t=ax12≥0，即方程3t²-4bt+b²+1=0有非负实根，…（10分）
∴△≥0?b²≥3，又t1t2=

b2+1

3

＞0，
∴

4b

3

＞0?b＞0．
综上b≥

3

．…（14分）

点评：本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力．