Question

（2007•武汉模拟）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别为AA₁，C₁D₁，BC的中点，那么直线B₁E与FM所成角的余弦值为（　　）

• A．0
• B．1
• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：注意到题中的条件当中，“中点”这个条件比较多，因此考虑取取A₁B₁中点N，连接MN、FN．首先在在正方形AA₁B₁B中利用三角形全等，可以证出B₁E⊥BN，再利用线面垂直证出B₁E⊥BM，结合线面垂直的判定定理，得出B₁E⊥平面MBNF，最终得出线线垂直：B₁E⊥FM，即直线B₁E与FM所成角等于90度，因此不难得出正确的选项了．

解答：解：取A₁B₁中点N，连接MN、FN
∵在正方形AA₁B₁B中，E、N分别为AA₁，A₁B₁的中点，
∴△A₁B₁E≌△B₁BN
可得B₁E⊥BN
又∵MB⊥平面AA₁B₁B，B₁E?平面AA₁B₁B
∴B₁E⊥BM
∵MN、BM是平面MBNF内的相交直线
∴B₁E⊥平面MBNF
又∵FM?平面MBNF
∴B₁E⊥FM
直线B₁E与FM所成角为90度，而cos90°=0
故选A

点评：本题考查了正方体中的两条异面直线所成角的问题，属于中档题．利用线面垂直，从而得出线线垂直，得到两条异面直线成90度的角，这种解法比较独特，同学们可以体会一下．