Question

17．已知△ABC是锐角三角形，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
（1）若a，b，c成等比数列，求角B的最大值，并判断此时△ABC的形状；
（2）若A，B，C成等差数列，求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由等比数列性质可求b²=ac，利用余弦定理可得cosB$≥\frac{1}{2}$，利用余弦函数的图象和性质即可解得B的最大值是$\frac{π}{3}$，当且仅当a=c时取“=”，即可判定此时三角ABC是等边三角形．
（2）由等差数列性质可得，2B=A+C，解得B=60°，化简sinA+sinC可得$\sqrt{3}$sin（30°+C），结合范围$\left\{{\begin{array}{l}{{0°}＜C＜{{90}°}}\\{{0°}＜{{120}°}-C＜{{90}°}}\end{array}}\right.$，利用正弦函数的图象和性质即可求得其范围．

解答 解：（1）∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$．…（3分）
当且仅当a=c时取“=”，
∴B的最大值是$\frac{π}{3}$，此时三角ABC是等边三角形．…（5分）
（2）∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
∴B=60°…（6分）
∴$sinA+sinC=sin（{120°}-C）+sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC=\sqrt{3}sin（{30°}+C）$，…（7分）
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{0°}＜C＜{{90}°}}\\{{0°}＜{{120}°}-C＜{{90}°}}\end{array}}\right.$，
∴30°＜C＜90°，
∴60°＜30°+C＜120°，
∴$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}sin（{30°}+C）≤\sqrt{3}$．
∴$\frac{3}{2}＜sinA+sinC≤\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题主要考查了等比数列、等差数列的性质的应用，考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．