Question

12．已知等差数列{a_n}中，a₃=9，a₅=17，记数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和为S_n，若S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{15}，（{m∈Z}）$，对任意的n∈N^*成立，则整数m的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，利用通项公式可得a_n=4n-3．可得数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和为S_n=1+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{4n-3}$．则S_2n+1-S_n=$\frac{1}{4n+1}$+$\frac{1}{4n+5}$+…+$\frac{1}{8n+1}$=f（n），利用其单调性可得：f（n）≤f（1）．而S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{15}，（{m∈Z}）$，对任意的n∈N^*成立，等价于（S_2n+1-S_n）_max≤$\frac{m}{15}$，解出即可．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=9，a₅=17，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=9}\\{{a}_{1}+4d=17}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=4．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和为S_n=1+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{4n-3}$．
则S_2n+1-S_n=$\frac{1}{4n+1}$+$\frac{1}{4n+5}$+…+$\frac{1}{8n+1}$=f（n），
f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{8n+9}-\frac{1}{4n+1}$＜0，
∴数列{f（n）}单调递减，
∴f（n）≤f（1）=$\frac{1}{5}+\frac{1}{9}$=$\frac{14}{45}$．
∵S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{15}，（{m∈Z}）$，对任意的n∈N^*成立，
∴（S_2n+1-S_n）_max≤$\frac{m}{15}$，
∴$\frac{14}{45}$＜$\frac{m}{15}$，
解得m＞$\frac{14}{3}$，
∴整数m的最小值为5．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列求和、数列的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．