Question

如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A₁，A₂，…，A₉和B₁，B₂，…，B₉，连接OB_i，过A_i作x轴的垂线与OB_i，交于点．
（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意，求出过且与x轴垂直的直线方程为x=i，B_i的坐标为（10，i），即可得到直线OB_i的方程为．联立方程，即可得到P_i满足的方程；
（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S_△OCM=S_△OCN，可得|x₁|=4|x₂|．即x₁=-4x₂．联立即可得到k，进而得到直线方程．
解答：（I）证明：由题意，过且与x轴垂直的直线方程为x=i，B_i的坐标为（10，i），
∴直线OB_i的方程为．
设P_i（x，y），由，解得，即x²=10y．
∴点都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x²=10y．
（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，
联立消去y得到x²-10kx-100=0，
此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，
设为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=10k，x₁x₂=-100，
∵S_△OCM=4S_△OCN，∴|x₁|=4|x₂|．∴x₁=-4x₂．
联立，解得．
∴直线l的方程为．即为3x+2y-20=0或3x-2y+20=0．
点评：本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力．