Question

已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=1，f（x）在（0，+∞）上的两个零点为1和3．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的图象，并根据图象讨论关于x的方程f（x）-c=0（c∈R）根的个数．

Answer 1

解：（1）由题意，当x＞0时，设f（x）=a（x-1）（x-3），（a≠0），
∵f（2）=1，∴a=-1，∴f（x）=-x²+4x-3，
当x＜0时，-x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）-3]=x²+4x+3，
即x＜0时，f（x）=x²+4x+3，
当x=0时，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0，
所以．

（2）作出f（x）的图象（如图所示）

由f（x）-c=0得：c=f（x），在图中作y=c，
根据交点讨论方程的根：
当c≥3或c≤-3时，方程有1个根；
当1＜c＜3或-3＜c＜-1时，方程有2个根；
当c=-1或c=1时，方程有3个根；
当0＜c＜1或-1＜c＜0时，方程有4个根；
当c=0时，方程有5个根．
分析：（1）先利用待定系数法求出当x＞0时，f（x）表达式，再利用奇函数的性质求出x≤0时f（x）表达式；
（2）数形结合：方程f（x）-c=0（c∈R）根的个数即为y=f（x）与y=c图象的交点个数，结合图象可得答案．
点评：本题考查函数解析式的求解及函数图象的作法，同时考查数形结合思想的应用，属中档题．