Question

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；                      
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），由知F₁为BF₂的中点，由AB⊥AF₂，知Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由，知，，，Rt△ABF₂的外接圆圆心为（-，0），半径r=a，所以，由此能求出椭圆方程．
（Ⅲ）由F₂（1，0），l：y=k（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此能求出m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b）
∵知F₁为BF₂的中点，
AB⊥AF₂
∴Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²，
又a²=b²+c²
∴a=2c
故椭圆的离心率…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，
于是，，
Rt△ABF₂的外接圆圆心为（-，0），半径r=a，
所以，解得a=2，
∴c=1，，
所求椭圆方程为…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
则，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）…（8分）

由于菱形对角线垂直，
则
故x₁+x₂-2m+k（y₁+y₂）=0
即x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂-2）=0，
…（10分）
由已知条件知k≠0，
∴
∴故m的取值范围是．…（12分）
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．