Question

13．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：

所取球的情况	三个球均为红色	三个球均不同色	恰有两球为红色	其他情况
所获得的积分	180	90	60	0

（Ⅰ）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（Ⅱ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及均值（数学期望）E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式求得所取的三个球中恰有两个是红球的概率．
（Ⅱ）由题意可得X可以取180，90，60，0，再求得X取各个值得概率，可得X的分布列及均值．

解答 （Ⅰ）解：设所取三个球恰有两个是红球为事件A，
则事件A包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为$\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{1}{9}$；
父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为$\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}=\frac{2}{9}$，
故$P（A）=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）解：X可以取180，90，60，0，取各个值得概率分别为：
$P（X=180）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{1}{C_3^1}=\frac{1}{18}，P（X=90）=\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{1}{C_3^1}=\frac{2}{9}$，
P（X=60）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{2}{3}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$  P（X=0）=1-$\frac{1}{18}$-$\frac{2}{9}$-$\frac{1}{3}$ $\frac{7}{18}$，
故X的分布为：

X	180	90	60	0
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{18}$

X的均值为 $E（X）=180×\frac{1}{18}+90×\frac{2}{9}+60×\frac{1}{3}+0×\frac{7}{18}=50$．

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式的应用，离散型随机变量的分布列和均值，属于中档题．