Question

20．已知f（x）=$\frac{2^x}{3a}+\frac{3a}{2^x}$（a＞0）是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用定义判断f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{3a}$$+\frac{3a}{{2}^{-x}}$=$\frac{2^x}{3a}+\frac{3a}{2^x}$=f（x），得出a的值；
（2）不等式整理为f（x）＞-m恒成立，只需求出f（x）的最小值，利用均值定理可得最小值．

解答 解：（1）设任意的x∈R，则
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{3a}$$+\frac{3a}{{2}^{-x}}$=$\frac{2^x}{3a}+\frac{3a}{2^x}$，
∴3a=$\frac{1}{3a}$，
∴$a=\frac{1}{3}$；
（2）?x∈R，f（x）+m＞0恒成立，
∴f（x）＞-m恒成立，
∵2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，
∴2≥-m，
∴m＞-2．

点评 考查了函数奇偶性的应用和利用均值定理求函数最值．