题目内容

若函数f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x+a的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1，再根据最大值为1，求得a的值．
（2）由题意可得，sin(2x+
π
6
)≥
1
2
，所以
π
6
+2kπ≤2x+
π
6
≤
5π
6
+2kπ，k∈z，解不等式求得x的取值集合．
解答：解：（1）f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x+a=
3
sin2x+(2cos2x-1)+a+1…（2分）
=
3
sin2x+cos2x+a+1=2sin(2x+
π
6
)+a+1…（5分）
所以f（x）max=a+3=1，得a=-2．…（7分）
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1，因为f（x）≥0，所以，sin(2x+
π
6
)≥
1
2
，…（9分）
所以
π
6
+2kπ≤2x+
π
6
≤
5π
6
+2kπ，…（12分）
即kπ≤x≤
π
3
+kπ，所以满足条件的x的取值集合为{x|kπ≤x≤
π
3
+kπ，k∈Z}．…（14分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若函数f(x)=
ax，x＞1
(2-3a)x+1，x≤1
是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)+cosωx（其中ω为大于0的常数），若函数f(x)在[-
π
2
，
π
2
]上是增函数，则ω的取值范围是
(0，
2
3
]
(0，
2
3
]
．
设函数f(x)=
2
3
+
1
x
(x＞0)，数列{an}满足a1=1，an=f(
1
an-1
)，n∈N*且n≥2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N*，设Sn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+
1
a3a4
+…+
1
anan+1
，若Sn≥
3t
4n
恒成立，求实数t的取值范围．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
记min{p，q}=
p，p≤q
q．p＞q
．
（1）若函数f(x)=min{
x
，
2
3
(x-1)}，求f（x）表达式
（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；
（3）若f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp1，p2为实数，且a＜bp1，p2∈（a，b））求f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．

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