Question

如图，ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥平面ABCD，PA＝a．

(1)求证：PC⊥CD；

(2)求点B到直线PC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)取AD的中点E，连AC，CE， 　　则ABCE是正方形，△CED为等腰直角三角形． 　　∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD； 　　解：(2)连BE交AC于O，则BE⊥AC， 　　又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC． 　　过O作OH⊥PC于H，连BH，则BH⊥PC． 　　∵PA＝a，AC＝，∴PC＝，则OH＝， 　　∵BO＝，∴BH＝

提示：

(1)要证PC与CD垂直，只要证明AC与CD垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明．(2)从B向直线PC作垂直，可利用△PBC求高，但需求出三边，并判断其形状(事实上，这里的∠PBC＝90°)；另一种重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH为平面PAC的斜线，故关键在于找出B在平面PAC内的射影，因平面PAC处于“竖直状态”，则只要从B作“水平”的垂线，可见也只要从B向AC作垂线便可得其射影．