Question

已知函数y=log3(x2+2x-

1

4

a2+

5

2

a-3)的定义域为R
（1）求a的取值范围；
（2）若函数g（a）=2+log₂a+log₂a×|log₂a-3|，求g（a）的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意可得二次函数t=x²+2x-

1

4

a²+

5a

2

-3 的判别式 △=4-4×[-

1

4

a2+

5

2

a-3]=a²-10a+16＜0，解此一元二次不等式求得a的取值范围．
（2）令t=log₂a，则t∈（1，3），故 g（a）=h（t）=2+t+t|t-3|=-（t-2）²+6，利用二次函数的性质求得g（a）的值域．

解答：解：（1）由于函数y=log3(x2+2x-

1

4

a2+

5

2

a-3)的定义域为R，故对于二次函数t=x²+2x-

1

4

a²+

5a

2

-3，
依题意可得它的判别式 △=4-4×[-

1

4

a2+

5

2

a-3]=a²-10a+16＜0，解得2＜a＜8，故a的取值范围为（2，8）．
（2）令t=log₂a，则t∈（1，3），故 g（a）=h（t）=2+t+t|t-3|=-t²+4t+2=-（t-2）²+6，
当t∈（1，3）时，由二次函数的性质可得h（t）∈（5，6]，
所以g（a）的值域为（5，6]．

点评：本题主要考查指数型复合函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．