Question

如图：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB=FB=1．
（1）求二面角C-DE-C₁的大小；
（2）求异面直线EC₁与FD₁所成角的大小；
（3）求异面直线EC₁与FD₁之间的距离．

Answer 1

分析：（1）以A为原点

AB

，

AD

，

AA1

分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，分别求出平面C₁DE与平面C₁DE的一个法向量的坐标，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（2）分别求出异面直线EC₁与FD₁的方向向量，代入向量夹角公式，求出它们夹角的余弦值，进而得到异面直线EC₁与FD₁所成角的大小；
（3）我们求出异面直线EC₁与FD₁的公垂向量，代入异面直线距离公式d=

| m ?D1 C1 |

| m |

，即可求出答案．

解答：解：（1）以A为原点

AB

，

AD

，

AA1

分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0），D₁（0，3，2），E（3，0，0），F（4，1，0），C₁（4，3，2）．（1分）
于是

DE

=（3，-3，0），

EC1

=（1，3，2），

FD1

=（-4，2，2）（3分）
设向量n=（x，y，z）与平面C₁DE垂直，则有

n⊥ DE n⊥ EC1

?

3x-3y=0 x+3y+2z=0

?x=y=-

1

2

z．
∴n=（-

z

2

，-

z

2

，z）=

z

2

（-1，-1，2），其中z＞0．取n₀=（-1，-1，2）
，则n₀是一个与平面C₁DE垂直的向量，（5分）
∵向量

AA1

=（0，0，2）与平面CDE垂直，∴n₀与

AA1

所成的角θ为二面角C-DE-C₁的平面角．（6分）
∴cosθ=

n0• AA1

|n0|| AA1 |

=

-1×0-1×0+2×2

1+1+4 × 0+0+4

=

6

3

．（7分）
故二面角C-DE-C₁的大小为arccos

6

3

．（8分）
（2）设EC₁与FD₁所成角为β，（1分）
则cosβ=

EC1 • FD1

| EC1 || FD1 |

=

1×(-4)+3×2+2×2

1+1+4 × 0+0+4

=

21

14

（10分）
故异面直线EC₁与FD₁所成角的大小为arccos

21

14

（11分）
（3）设

m

=（x，y，z）

m ⊥ EC1 m ⊥ FD1

?

m

=(

1

7

，-

5

7

，1)又取D1

C1

=(4，0，0)$}}\over m}=（\frac{1}{7}，-\frac{5}{7}，1）$$}}\over C}_1}=（4，0，0）$（13分）
设所求距离为d，则d=

| m ?D1 C1 |

| m |

=

4 3

15

$}}\over C}}_1}|}}{|\vec m|}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$（14分）．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，用空间向量求直线音质夹角，距离，其中（1）的关键是求出平面C₁DE与平面C₁DE的一个法向量的坐标，（2）的关键是求出异面直线EC₁与FD₁的方向向量，（3）的关键是异面直线距离公式d=

| m ?D1 C1 |

| m |

．