Question

设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量

m

=(1，sinA+

3

cosA)，

n

=(sinA，

3

2

)，已知

m

与

n

共线．   
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，c=4

3

sinB，且△ABC的面积小于

3

，求角B的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量平行，得到关于A的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简，求出角A的大小；
（Ⅱ）通过a=2，c=4

3

sinB，且△ABC的面积小于

3

，得到B的余弦值的范围，然后求角B的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为

m

∥

n

，则sinA(sinA+

3

cosA)=

3

2

，即sin2A+

3

sinAcosA=

3

2

、（2分）
所以

1-cos2A

2

+

3

2

sin2A=

3

2

，即

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=1，即sin(2A-

π

6

)=1、（5分）
A是锐角，则2A-

π

6

=

π

2

，
所以A=

π

3

、（6分）
（Ⅱ）因为a=2，c=4

3

sinB，
则S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2×4

3

sin2B=4

3

sin2B=4

3

×

1-cos2B

2

=2

3

-2

3

cos2B、（9分）
由已知，2

3

-2

3

cos2B＜

3

，即cos2B＞

1

2

、（11分）
因为B是锐角，
所以0＜2B＜

π

3

，即0＜B＜

π

6

，故角B的取值范围是(0，

π

6

)、（13分）

点评：本题是中档题，考查向量的平行关系的应用，三角函数的二倍角公式、两角差正弦函数的应用，考查解三角形的面积等知识，考查计算能力．