题目内容
（1）已知a，b＞0，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．
（2）求证：
+
＜2
．
（2）求证：
| 3 |
| 7 |
| 5 |
分析：（1）由b2+c2≥2bc，a＞0，证得 a（b2+c2）≥2abc，同理可证 b（c2+a2）≥2abc，相乘即可得到要证的结论．
（2）直接法利用分析法进行证明．
（2）直接法利用分析法进行证明．
解答：证明：（1）∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a（b2+c2）≥2abc．
又∵c2+a2≥2ac，b＞0，∴b（c2+a2）≥2abc．
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．
（2）∵
+
和2
都是正数，
要证
+
＜2
只需证(
+
)2＜(2
)2
整理得：
＜5
即证：21＜25
∵21＜25显然成立
∴原不等式成立
又∵c2+a2≥2ac，b＞0，∴b（c2+a2）≥2abc．
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．
（2）∵
| 3 |
| 7 |
| 5 |
要证
| 3 |
| 7 |
| 5 |
只需证(
| 3 |
| 7 |
| 5 |
整理得：
| 21 |
即证：21＜25
∵21＜25显然成立
∴原不等式成立
点评：本题（1）考查用综合法证明不等式，证明a（b2+c2）≥2abc，是解题的关键．（2）考查分析法证明不等式，重视分析法的证明步骤．
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