Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）是否存在常数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用条件f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，建立方程组，求f（x）的解析式
（Ⅱ）利用二次函数的单调性和值域之间的关系建立，方程关系．
解答：解：（Ⅰ）由题设，方程f （x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=0⇒b=1．（2分）
又f （2）=0，
∴4a+2b=0，∴a=-．（4分）
故f （x）=-x²+x．（5分）
（Ⅱ）∵f （x）=-x²+x=-（x-1）²+≤，
∴2n≤，即 n≤．（8分）
而当n≤时，f （x）在[m，n]上为增函数，
设满足条件的m，n存在，则即，
又m＜n≤，由上可解得 m=-4，n=0．
即符合条件的m，n存在，其值为m=-4，n=0．（13分）
点评：本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数的图象和性质的应用．