Question

19．设△ABC内角A，B，C所对的边分为a，b，c，若cos（3π-B）=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=4，b=$\sqrt{13}$，求c的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由诱导公式化简已知可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜B＜π，即可求得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理可得：13=c²+16-2×$4c×\frac{1}{2}$，解得c的值，分情况利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵cos（3π-B）=-cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$…5分
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
可得：13=c²+16-2×$4c×\frac{1}{2}$，解得c₁=1，c₂=3．
当c₁=1时，S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC•sinB$=$\frac{1}{2}×1×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$…10分
当c₂=3时，S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC•sinB$=$\frac{1}{2}×3×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了诱导公式，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．