题目内容

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，则下列条件中能推出△ABC为锐角三角形的条件是________．（把正确答案的序号都写在横线上）
① $数学公式$ ② $数学公式$ • $数学公式$ ＜0
③ $数学公式$ ，B=30°④tanA+tanB+tanC＞0．

④
分析：①对sinA+cosA= $\text{[math]}$ ，两边同时平方可得整理可得， $\text{[math]}$ 则有 $\text{[math]}$
② $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜0?B为锐角，但不能肯定△ABC为锐角三角形；③由正弦定理可得 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ 结合c＞b 可得C＞B=30°从而可得，当C=60°时A=90° 当 C=120°时，A=30°④由题意可得A，B，C不能为直角，钝角最多一个，故可设设A，B均为锐角，由tanA+tanB+tanC＞0，结合三角形的内角和及两角和的正切公式，tanA+tanB＞tan（A+B）? $\text{[math]}$ ?tanAtanB＞1
?tanA＞cotB=tan（ $\text{[math]}$ ）?A $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
解答：①sinA+cosA= $\text{[math]}$ ，? $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ ①不能推出
② $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜0?B为锐角，但不能肯定△ABC为锐角三角形
③由正弦定理可得 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ∵c＞b∴C＞B=30°
当C=60°时A=90° 当 C=120°时，A=30°③不能推出
④由题意可得A，B，C不能为直角，故可设设A，B均为锐角
tanA+tanB+tanC＞0?tanA+tanB＞tan（A+B）? $\text{[math]}$ ?tanAtanB＞1
?tanA＞cotB=tan（ $\text{[math]}$ ）?A $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ④为锐角三角形
故答案为：④
点评：本题以三角形的判断为平台，综合考查了同角平方关系，向量的夹角的概念，正弦定理及大边对大角，两角和的正切公式、三角形的内角和定理、正切函数的单调性．