Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c．
（1）若c=2，C=

π

3

且△ABC的面积等于

3

，求cos（A+B）和a，b的值；
（2）若B是钝角，且cosA=

3

5

，sinB=

12

13

，求sinC的值．

Answer 1

解（1）∵A+B+C=π，C=

π

3

，∴A+B=π-C=

2π

3

由此可得：cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC=-cos

π

3

=-

1

2

（2分）
根据余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
∴a²+b²-ab=4，（4分）
又∵△ABC的面积等于

3

，即

1

2

absinC=

3

，
∴

1

2

ab×

3

2

=

3

，解之得ab=4．       （5分）
联立方程组

a2+b2-ab=4 ab=4

，解之得a=2，b=2．    （7分）
（2）∵B是钝角，且cosA=

3

5

＞0，sinB=

12

13

∴sinA=

1-cos2A

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

（8分）
cosB=-

1-sin2B

=-

1-( 12 13 )2

=-

5

13

（9分）
因此，sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

×(-

5

13

)+

3

5

×

12

13

=

16

65

（12分）