Question

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，DB₁=+1，E为BB₁上使B₁E=1的点，平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于G.求：

(1)异面直线AD与C₁G所成的角的大小；

(2)二面角A-C₁G-A₁的正切值.

Answer 1

解法一：(1)由AD∥D₁G知∠C₁GD₁为异面直线AD与C₁G所成的角.

连结C₁F.因为AE和C₁F分别是平行平面ABB₁A₁和CC₁D₁D与平面AEC₁G的交线，所以AE∥C₁F，由此可得D₁F=BE=.再由△FDG∽△FDA得D₁G=.

在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁C=得∠C₁GD₁=.

(2)作D₁H⊥G₁G于H.连结FH.由三垂线定理知FH⊥C₁G，故∠D₁HF为二面角F-C₁G-D₁，即二面角A-C₁G-A₁的平面角.

在Rt△GHD₁中，由D₁G=，∠D₁GH=得D₁H=，从而tan∠D₁HF=.

解法二：(1)由AD∥D₁G知∠C₁GD₁为异面直线AD与C₁G所成的角.

因为EC₁和AF是平行平面BB₁C₁C与AA₁D₁D与平面AEC₁G的交线，所以EC₁∥AF.

由此可得∠AGA₁=∠EC₁B₁=.

从而A₁G=AA₁=+1，于是D₁G=.

在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁G=得∠C₁GD₁=.

(2)在△A₁C₁G中，由∠C₁A₁G=,∠A₁GC₁=知∠A₁C₁G为钝角.作A₁H⊥GC₁实GC₁的延长线于H，连结AH.由三垂线定理知GH⊥AH，故∠AHA₁为二面角A-C₁G-A₁的平面角.

在Rt△A₁HG中，由A₁G=+1，∠A₁GH=得A₁H=.

从而tan∠AHA₁=.