题目内容

已知 $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，sin $数学公式$ ）， $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，-sin $数学公式$ ），且θ∈[0， $数学公式$ ]．
（1）若| $数学公式$ + $数学公式$ |=1，试求θ的值；
（2）求 $数学公式$ 的最值．

解：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =cos $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +sin $\text{[math]}$ （-sin $\text{[math]}$ ）=cos（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=cos2θ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2+2cos2θ=4cos²θ=1，∴cosθ= $\text{[math]}$ ．
再由θ∈[0， $\text{[math]}$ ]可得 θ= $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =cosθ- $\text{[math]}$ ，令 t=cosθ，则有 $\text{[math]}$ ≤t≤1，∴（t- $\text{[math]}$ ）′=1+ $\text{[math]}$ ＞0，
∴（t- $\text{[math]}$ ）在[ $\text{[math]}$ ，1]上是增函数，故当t= $\text{[math]}$ 时，（t- $\text{[math]}$ ）取得最小值为- $\text{[math]}$ ，当t=1时，（t- $\text{[math]}$ ）取得最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式求出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值，再由 $\text{[math]}$ =1求出cosθ= $\text{[math]}$ ，再由θ的范围求出θ的值．
（2）化简 $\text{[math]}$ 为cosθ- $\text{[math]}$ ，令 t=cosθ，则有 $\text{[math]}$ ≤t≤1，利用导数判断函数（t- $\text{[math]}$ ）在[ $\text{[math]}$ ，1]上是增函数，由此求得函数的最值．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，属于中档题．