Question

已知椭圆C：

x2

m2

+

y2

n2

=1(0＜m＜n)的离心率为

3

2

，且经过点P(

3

2

，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，k_OD为直线OD的斜率，求证：k•k_OD为定值；
（3）在（2）条件下，当t=1时，若

OA

与

OB

的夹角为锐角，试求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据离心率求得n和m的关系式，同时把点P代入椭圆方程求得n和m的另一关系式，联立求得n和m，则椭圆的方程可得．
（2）把直线与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出AB中点的坐标，最后分别表示出两条直线的斜率，求得k•k_OD为定值
（3）把t=1代入（2）中的方程，根据x₁+x₂和x₁x₂的表达式，求得x₁x₂+y₁y₂的表达式，若

OA

与

OB

的夹角为锐角，则有

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0进而求得k的范围．

解答：解：（1）根据题意有：

n2-m2 n2 = 3 4 3 4m2 + 1 n2 =1

解得：

m2=1 n2=4

∴椭圆C的方程为x2+

y2

4

=1
（2）联立方程组

y=kx+t x2+ y2 4 =1

消去y得：（4+k²）x²+2kx+t²-4=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点坐标为（x₀，y₀）
则有：x0=

x1+x2

2

=

-kt

4+k2

，y0=kx0+t=

4t

4+k2

∴kOD=

y0

x0

=-

4

k

，故k•kOD=-

4

k

•k=-4为定值
（3）当t=1时，①式为（4+k²）x²+2kx-3=0
故x1+x2=

-2k

4+k2

，x1•x2=-

3

k2+4

∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
∴x1x2+y1y2=

1-4k2

k2+4

若

OA

与

OB

的夹角为锐角，则有

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0，
即

1-4k2

k2+4

＞0，解得-

1

2

＜k＜

1

2

，且k≠0，
∴当k∈(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)时，

OA

与

OB

的夹角为锐角

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．