某工厂有旧墙一面.长14m.现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形.面积为126 m2的厂房.工程条件是:①建1m长新墙的费用为a元,②修1m长旧墙的费用为$\frac{a}{4}$元,③拆去1m长旧墙.用所得的材料建1m长新墙的费用为$\frac{a}{2}$元, ④屋顶及地面需要的费用为b元, 经讨论有两种方案:(1)利用旧墙� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．某工厂有旧墙一面，长14m，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126 m²的厂房，工程条件是：①建1m长新墙的费用为a元；②修1m长旧墙的费用为$\frac{a}{4}$元；③拆去1m长旧墙，用所得的材料建1m长新墙的费用为$\frac{a}{2}$元； ④屋顶及地面需要的费用为b元；经讨论有两种方案：
（1）利用旧墙的一段x m（x＜14）为矩形厂房一面的边长；
（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？

分析（Ⅰ）分别求出修旧墙费用、将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用及建新墙的费用，得到总费用后利用基本不等式求费用的最小值；
（Ⅱ）求出修旧墙的费用及建新墙的费用，作和后利用函数的单调性求出费用最小值，比较大小后即可得到答案．

解答解：设利用旧墙的一面矩形边长为x m，则矩形的另一面边长为$\frac{126}{x}$ m．
（1）利用旧墙的一段x m（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•$\frac{a}{4}$元．
将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为（14-x）•$\frac{a}{2}$元，其余建新墙的费用为（2x+$\frac{2×126}{x}$-14）a元．
故总费用为y=x•$\frac{a}{4}$+$\frac{14-x}{2}$•a+（2x+$\frac{252}{x}$-14）a+b=7a（$\frac{x}{4}$+$\frac{36}{x}$-1）+b （0＜x＜14）
≥7a•（2$\sqrt{\frac{x}{4}•\frac{36}{x}}$-1）+b=35a+b，
当且仅当$\frac{x}{4}$=$\frac{36}{x}$，即x=12时，y_min=35a元．
（2）若利用旧墙的一面矩形边长x≥14，
则修旧墙的费用为$\frac{a}{4}$•14=$\frac{7}{2}$a元．
建新墙的费用为（2x+$\frac{252}{x}$-14）a，
故总费用为y=$\frac{7}{2}$a+（2x+$\frac{252}{x}$-14）a+b=$\frac{7}{2}$a+2a（x+$\frac{126}{x}$-7）+b （x≥14）．
设14≤x₁＜x₂，则（x₁+$\frac{126}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{126}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1-$\frac{126}{{x}_{1}{x}_{2}}$）．
∵14≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞196．
从而1-$\frac{126}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，所以函数y在[14，+∞）上为增函数．
故当x=14时，y_min=$\frac{7}{2}$a+2a（14+$\frac{126}{14}$-7）+b=35.5a+b＞35a+b．
综上所述，采用第（1）种方案，利用旧墙12 m为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a+b元．

点评本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式和函数的单调性求函数的最值，是中档题．

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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