Question

已知函数，，且在点（1，）处的切线方程为。

（1）求的解析式；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）设函数，若方程有且仅有四个解，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1），由条件，得

，即，．----------------------4分

（2）由，其定义域为，

，

令，得（*）  -------------------------------6分

①若，则，即的单调递增区间为； ……………………7分   

②若，（*）式等价于，

当，则，无解，即无单调增区间，

当，则，即的单调递增区间为，

当，则，即的单调递增区间为．------------------10分

（3）

当时，，，

令，得，且当，

在上有极小值，即最小值为．   -------------------11分

当时，，，

令，得，

①若，方程不可能有四个解；-----------------12分

②若时，当，当，

在上有极小值，即最小值为，

又，的图象如图1所示，

从图象可以看出方程不可能有四个解．----------14分

 

③若时，当，当，

在上有极大值，即最大值为，

又，的图象如图2所示，

从图象可以看出方程若有四个解，

必须，．

综上所述，满足条件的实数的取值范围是．