Question

（2012•姜堰市模拟）若函数f（x）=x|x-2m|（m＞0）在区间[0，1]上的最大值为m²，则正实数m的取值范围为

[

2

-1，1]

．

Answer 1

分析：将函数化简成分段函数的形式，再讨论它的单调性，可得函数在区间[0，1]上的最大值可能是f（m）或f（1），由此结合题意建立关于m的不等式组，解之可得正实数m的取值范围．

解答：解：函数f（x）=x|x-2m|=

x2-2mx   x＞2m 2mx-x 2    x≤2m

当0≤x≤2m时，函数f（x）图象对应开口向下的抛物线，最大值为f（m）=m²
当x＞2m时，函数f（x）图象对应开口向上的抛物线，在区间（2m，+∞）上是增函数
∴当x∈[0，1]时，函数的最大值为m²，
说明

m≤1 f(1)≤m2

，即

m≤1 |1-2m|≤m2

，解之得

2

-1≤m≤1
故答案为：[

2

-1，1]

点评：本题给出含有绝对值的函数，讨论了函数的最大值，着重考查了分段函数的单调性和二次函数在闭区间上的最值的知识，属于中档題．