Question

已知函数f（x）=log_a（x-x²）（a＞0，a≠1）
（1）求函数f（x）的定义域，
（2）求函数f（x）的值域，
（3）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）由x-x²＞0得0＜x＜1，
所以函数y=log_a（x-x²）的定义域是（0，1）（2分）

（2）因为0＜x-x²=，
所以，当0＜a＜1时，
函数y=log_a（x-x²）的值域为；（5分）
当a＞1时，
函数y=log_a（x-x²）的值域为（8分）

（3）当0＜a＜1时，函数y=log_a（x-x²）
在上是减函数，在上是增函数；（10分）
当a＞1时，函数y=log_a（x-x²）
在上是增函数，在上是减函数．（12分）
分析：（1）由x-x²＞0求解．（2）先求0＜x-x²的范围，然后按照0＜a＜1，a＞1两种情况求解．
（3）按照0＜a＜1，a＞1两种情况讨论，先将原函数分解为两个基本函数，利用复合函数的单调性求解．
点评：本题主要考查了研究复合函数的基本思路，先分解为两个基本函数，再求定义域，然后利用复合函数的单调性求解．