Question

已知等差数列{a_n}的公差为d，且a₂=3，a₅=9，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-b_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n 求证：数列{c_n}的前n项和 T_n≤1．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，易求d与a₁，从而可求a_n；由S_n=1-b_n，S_n-1=1-b_n-1，二式相减可求得=（n≥2），从而可求得b_n；
（2）利用c_n=a_nb_n=（2n-1）•，T_n=1×+3×+5×+…+（2n-3）×+（2n-1）×，用错位相减法即可求得T_n．
解答：解：（1）依题意，d==2，故a₁=a₂-d=1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）…1分
在S_n=1-b_n中，令n=1，得b₁=，
当n≥2时，S_n=S_n=1-b_n，S_n-1=1-b_n-1，
两式相减得b_n=b_n-1-b_n，
∴=（n≥2）…4分
∴b_n=•=（n∈N^*）…5分
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•…6分
T_n=1×+3×+5×+…+（2n-3）×+（2n-1）×，
T_n=1×+3×+…+（2n-3）×+（2n-1）×…7分，
两式相减得：
T_n=+2[++…+]-（2n-1）×
=+2×-（2n-1）×…9分，
∴T_n=1-×（n+1）…11分
∵n∈N^*，
∴T_n≤1…12分
点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，考查错位相减法及综合运算能力，属于中档题．