Question

对一切实数x，所有的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜b）的值均为非负实数，则

b-a

a+b+c

的最大值是

1

3

．

Answer 1

分析：设b-a=k，则b=a+k，依题意有b＞a＞0，b²≤4ac，即（a+k）²≤4ac，即c≥

(a+k) 2

4a

．
根据

b-a

a+b+c

=

k

2a+k+c

≤

k

2a+k+ (a+k) 2 4a

，再利用基本不等式求出它的最大值．

解答：解：设b-a=k，则b=a+k，依题意有b＞a＞0，b²≤4ac，即（a+k）²≤4ac，即c≥

(a+k) 2

4a

．
故

b-a

a+b+c

=

k

2a+k+c

≤

k

2a+k+ (a+k) 2 4a

=

k

9a 4 + 3k 2 + k 2 4a

=

1

k 4a + 9a 4k + 3 2

≤

1

2 k 4a • 9a 4k + 3 2

=

1

2× 3 4 + 3 2

=

1

3

．
当且仅当

k 4a = 9a 4k c= (a+k)2 4a

，即b=c=4a时取等号．
故答案为：

1

3

．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意检验等号成立的条件，以及二次函数的性质的应用，
属于中档题．