Question

设过点M（-1，0）的直线与椭圆x²+3y²=a²（a＞0）相交于A，B两个不同的点，且=2．记O为坐标原点．求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根与系数的关系及向量相等得到y₁，y₂的关系及可用k来表示，再利用三角形的面积公式，从而得△OAB的面积 S=|OC|•|y₂-y₁|及基本不等式的性质，即可得出取得面积最大值时的k的值，进而得到a的值．
解答：证明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=y-1．
并代入椭圆方程x²+3y²=a²消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²a²=0   ①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由①，得y₁+y₂=，②
∵=2．而点M（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
得y₁=-2y₂代入②，得y₂=，③
∴△OAB的面积 S=|OC|•|y₂-y₁|=|y₂|=≤=，
当且仅当k²=3，即k=±时取等号．
把k的值代人③可得y₂=±，这两组值分别代入①，均可解出a²=15．
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x²+3y²=15．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、基本不等式、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．