Question

已知点F是抛物线C：y²=x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=．
（Ⅰ）求点S的坐标；
（Ⅱ）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；
①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；
②延长NM交x轴于点E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设S（x，y）（y＞0），由已知得F，则|SF|=，由此能求出点S的坐标．
（Ⅱ）①设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），由，得ky²-y+1-k=0，所以．由已知SA=SB，知直线SB的斜率为-k，由此能导出直线MN的斜率为定值-．
②设E（t，0），由|EM|=|NE|，知k=2．所以直线SA的方程为y=2x-1，则，同理．由此能求出cos∠MSN的值．
解答：解：（Ⅰ）设S（x，y）（y＞0），由已知得F，则|SF|=，
∴y=1，∴点S的坐标是（1，1）------------------------（2分）
（Ⅱ）①设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），
由得ky²-y+1-k=0，
∴，∴．
由已知SA=SB，∴直线SB的斜率为-k，∴，
∴--------------（7分）
②设E（t，0），∵|EM|=|NE|，∴，
∴，，则，∴k=2----------------（8分）
∴直线SA的方程为y=2x-1，则，同理
∴---------------------------（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．