Question

如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米，一只小虫从S点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的．设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为P_n（n≥2，n∈N）．
（1）求P₂，P₃的值；
（2）求证：3P_n+1+P_n=1（n≥2，n∈N）；
（3）求证：P₂+P₃+…+P_n＞

6n-5

24

（n≥2，n∈N）．

Answer 1

分析：（1）利用分布计数原理求出小虫爬行2米所有的方法数，求出小虫爬2米后恰回到S点的方法数，利用古典概型概率公式求出概率，
（2）利用对立事件的概率公式求出P_n，P_n+1的递推关系，
（3）有（2）中P_n，P_n+1的递推关系构造新数列，利用等比数列的通项公式求出P_n的通项，通过分组利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出和．

解答：解：（1）P₂表示从S点到A（或B、C、D），然后再回到S点的概率，所以P₂=4×

1

4×3

=

1

3

；
因为从S点沿一棱爬行，不妨设为沿着SA棱再经过B或D，然后再回到S点的概率为

1

4×3×3

×2=

1

18

，
所以P₃=

1

18

×4=

2

9

．
（2）证明：设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为P_n，
那么1-P_n表示爬行n米后恰好没回到S点的概率，
则此时小虫必在A（或B、C、D）点，所以

1

3

×（1-P_n）=P_n+1，即3P_n+1+P_n=1（n≥2，n∈N）．
（3）证明：由3P_n+1+P_n=1，得(pn+1-

1

4

)=-

1

3

(pn-

1

4

)，
从而P_n=

1

4

+

1

12

(-

1

3

)n-2（n≥2，n∈N）．
所以P₂+P₃+…+P_n=

n-1

4

+

1

12

[

1-(- 1 3 )n-1

1+ 1 3

]
=

n-1

4

+

1

16

[1-(-

1

3

)n-1]
=

n-1

4

+

1

16

×

2

3

+

1

16

[

1

3

-(-

1

3

)n-1]＞

6n-5

24

．

点评：本题考查古典概型概率公式、构造新数列求数列的通项公式的方法、等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式