Question

如图所示，直线l过点P（6，2），且和x轴，y轴正方向分别交于A，B两点，求直线l在两坐标轴上截距之和S的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：由题意可设直线l的方程为 y-2=k（x-6）（k＜0），令x，y分别为0可得截距，可得S的表达式，由基本不等式可得最值和k值，可得直线的方程．

解答：解：由题意可知直线l的斜率存在且小于零，
故可设直线l的方程为 y-2=k（x-6）（k＜0）
令x=0，则y=2-6k，令y=0，则x=6-

2

k

∴A(6-

2

k

，0)，B(0，2-6k)，
由k＜0，知-k＞0，∴6-

2

k

＞0，2-6k＞0，
∴S=2-6k+6-

2

k

=8+（-6k）+（-

2

k

）≥8+2

-6k•(- 2 k )

=8+4

3

，
当且仅当-6k=-

2

k

，即k=-

3

3

时取等号，
∴s的最小值为8+4

3

，
此时直线l的方程为y-2=-

3

3

(x-6)，化为一般式可得

3

x+3y-6-6

3

=0

点评：本题考查直线的一般式方程，涉及直线的截距和基本不等式求最值，属中档题．