Question

如图所示，已知过点A(0，1)且方向向量为a＝(1，k)的直线l与⊙C＝(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点． (1) 求实数k的取值范围 (2) 求证：·＝定值 (3) 若O为坐标原点，且·＝12，求k的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：直线l过点(0，1)，且方向向量a=(1，k)，∴直线l的方程为y=kx＋1．将其代入⊙C方程，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7=0()． 　　由△=[－4(1＋k)]2－4·(1＋k2)·7＞0，得＜k＜．
(2)	由平面几何知识，若过A的圆C的一条切线为AT(T为切点)，则·=｜｜·｜｜·=｜AM｜·｜AN｜=｜AT｜2=7，即为定值．
(3)	设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则由()得　 　　∴·=x1x2＋y1y2 　　　　　　　 =x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1) 　　　　　　　 =(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 　　　　　　　 =(1＋k2)·＋k·＋1 　　　　　　　 =＋8． 　　∴=4，得k=1，由(1)知k=1符合题意，∴k=1． 　　点评：本题根据向量数量积的坐标表示将题目中的·转化成含点M、N坐标的数学式子，并利用、同向共线，其夹角为，将·转化为｜AM｜·｜AN｜，实现了向量条件向解析几何条件的转化．