Question

已知椭圆C：的长轴长为4，F₁，F₂分别为其左、右焦点，抛物线y²=-4x的焦点为F₁．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过焦点F₁的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F₂PQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）抛物线y²=4x的焦点为（1，0）即c=1，再利用椭圆定义，求出2a，得出a，可求得椭圆C的方程；
（II）设直线l方程为：x=my-1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得△F₂PQ面积值，最后利用求函数的最大值，从而解决问题．
解答：解：（Ⅰ）由抛物线y²=-4x的焦点为F₁（-1，0）可知c=1，
∵2a=4∴a=2，∴b²=a²-c²=3
所以椭圆C的方程为： …（4分）
（Ⅱ）因为过点F₁（-1，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，
可设直线l方程为：x=my-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
，得（4+3m²）y²-6my-9=0，∴
所以S=|F₁F₂||y₁-y₂|=，
令=t，则t≥1，所以S=
而3t+在[1，+∞）上单调递增，
所以S=≤3，当t=1时取等号，
即当m=0时，△F₂PQ的面积最大值为3…（8分）
点评：本题考查圆锥曲线定义、标准方程、简单的几何性质．属于直线与圆锥曲线的综合问题．