Question

已知椭圆C：的长轴长为，离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），且△OBE与△OBF的面积之比为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c的关系，根据长轴长求得a，进而求得c，则b可求的，椭圆的方程可得．
（2）设直线l方程，与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0气度而m的一个范围，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）利用韦达定理可分别表示出y₁y₂和y₁+y₂，根据三角形面积之比求得由此可知，，即y₂=2y₁．代入y₁y₂和y₁+y₂中，进而求得m的范围．
解答：解：（1）椭圆C的方程为，
由已知得，
解得，
∴所求椭圆的方程为，
（2）由题意知l的斜率存在且不为零，
设l方程为x=my+2（m≠0）①，代入，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，由△＞0得m²＞2．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则=2 ②
由已知，，则，
由此可知，，即y₂=2y₁．
代入 ②得，，消去y₁得，
解得，，满足m²＞2．
即．
所以，所求直线l的方程．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．